0 引言

    Arikan提出的極化碼^[1]是一種可以理論證明在任意二進(jìn)制輸入離散無記憶信道下容量可達(dá)的碼。該碼自被發(fā)明以來一直引起廣泛關(guān)注和研究，相關(guān)的成果也不斷涌現(xiàn)，這些研究集中在極化碼的容量限^[2-4]、極化碼構(gòu)造^[5]以及譯碼^[6-7]等方面。

    極化碼是一類信道特定碼，即不同的信道參數(shù)具有不同的極化碼，因此如何構(gòu)造極化碼對(duì)于所使用的極化碼來說至關(guān)重要。通常情況下，除了二進(jìn)制刪除信道 (Binary Erasure Channel，BEC)，精確的極化碼構(gòu)造具有很高的復(fù)雜度。Arikan在文獻(xiàn)[1]提出基于蒙特卡洛仿真的方法實(shí)現(xiàn)極化碼的構(gòu)造，而文獻(xiàn)[5]提出一種基于密度進(jìn)化^[8]的極化方法，該方法無論在復(fù)雜度還是性能方面相比蒙特卡洛的方法都具有一定的優(yōu)勢(shì)。

    然而，目前有關(guān)基于密度進(jìn)化的方法還只能在二進(jìn)制輸入離散無記憶信道中進(jìn)行，對(duì)于多進(jìn)制，特別是基于高階調(diào)制的信道并沒有特別好的方法。這是由于在高階調(diào)制中，每個(gè)符號(hào)對(duì)應(yīng)的比特出錯(cuò)概率不相同[9]，而且出錯(cuò)概率會(huì)隨著發(fā)送符號(hào)的不同而改變。因此，如果要將極化碼直接使用高階調(diào)制進(jìn)行傳輸，則極化碼的構(gòu)造過程也隨著碼字變化而變化。為了解決這個(gè)問題，本文提出一種基于平行信道的方法，將高階調(diào)制極化碼的構(gòu)造問題化簡為一般的二進(jìn)制輸入信道的極化碼的構(gòu)造問題，巧妙地避免了對(duì)高階調(diào)制符號(hào)直接進(jìn)行極化碼構(gòu)造帶來的困難。當(dāng)然，本文方法與文獻(xiàn)[10-11]中提出平行信道概念有本質(zhì)的不同，文獻(xiàn)[10]提出利用極化碼在平行信道間進(jìn)行編碼以實(shí)現(xiàn)發(fā)射機(jī)在未知信道狀態(tài)信息情況下達(dá)到平行信道容量的目的，文獻(xiàn)[11]則研究在發(fā)射端已知不同信道的狀態(tài)信息情況下如何實(shí)現(xiàn)平行信道傳輸，而本文中提出的方法利用傳統(tǒng)的平行信道理論無法解決。

    本文針對(duì)兩類最常見的高階調(diào)制：相移鍵控(Phase-Shift Keying，PSK)和正交幅度調(diào)制(Quadrature Amplitude Modulation，QAM)開展研究。對(duì)于PSK重點(diǎn)研究最常用的8-PSK，而QAM調(diào)制可以分解成兩個(gè)正交的脈沖幅度調(diào)制 (Pulse Amplitude Modulation，PAM)^[12]，所以主要以PAM作為研究對(duì)象，PAM調(diào)制結(jié)果可以自然延伸到QAM調(diào)制。另外，格雷映射是調(diào)制中最常用的映射方式，因此本文中位到符號(hào)的映射全部采用了格雷映射。

1 高階調(diào)制下的極化碼構(gòu)造

1.1 8-PSK調(diào)制

    圖1給出了基于一種格雷映射的8-PSK星座圖。圖1中所有星座點(diǎn)都均勻地分布在一個(gè)單位圓上，定義8-PSK的每個(gè)星座點(diǎn)對(duì)應(yīng)的比特序列為b₃b₂b₁。假定本文中的高階調(diào)制都經(jīng)過一個(gè)均值為0、方差為N₀的AWGN信道。下面將分析星座點(diǎn)對(duì)應(yīng)比特序列的出錯(cuò)概率。

    對(duì)于高階調(diào)制，當(dāng)信道信噪比較高時(shí)，PSK的某個(gè)比特出錯(cuò)概率主要由該比特的取值相反且最近的星座點(diǎn)之間的歐氏距離d_min決定^[12-13]，且該比特的出錯(cuò)概率可以表示為：

其中，Q(x)為Q函數(shù)^[12]，E_b/N₀表示單位比特的信噪比。對(duì)于b₁ bit，由于采用格雷映射，因此，總是可以從相鄰星座點(diǎn)中找到與發(fā)送b₁相反的星座點(diǎn)，因此，無論b₁為何值，最小歐式距離都是圖中的D₁。對(duì)于b₂ bit，則要分兩種情況，一種是當(dāng)b₁=0時(shí)，從圖1中可以看出，其出錯(cuò)的最小歐式距離為D₂，如發(fā)送星座點(diǎn)為000，其最易出錯(cuò)星座點(diǎn)為010，即最小歐式距離為D₂(因?yàn)橐阎猙₁=0，所以不可能錯(cuò)成011)；另一種是當(dāng)b₁=1時(shí)，從圖中可以看出，其出錯(cuò)的最小歐式距離為D₁，如發(fā)送星座點(diǎn)為001，其最易出錯(cuò)星座點(diǎn)為011，即最小歐式距離為D₁。同理，對(duì)于b₃ bit，它與b₂情況恰好相反，即b₁=0時(shí)，最小出錯(cuò)概率為D₁，而b₁=1時(shí)，最小歐式距離為D₂。其中D₁=2sin(π/8)，D₂=2sin(3π/8)，并根據(jù)文獻(xiàn)[12]得出D₁和D₂所對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制輸入的AWGN信道的等效噪聲方差分別為：

1.2 M-PAM調(diào)制

對(duì)于M-PAM調(diào)制，也可以像8-PSK調(diào)制一樣等效成多個(gè)噪聲固定的平行信道。假設(shè)基于一種格雷映射的M-PAM的星座點(diǎn)集合為{S_i}，其中i=0，1，2，…，M-1，M=2^m。假定M-PAM的星座點(diǎn)按照下標(biāo)從小到大順序排列，每個(gè)星座點(diǎn)與相鄰星座點(diǎn)歐氏距離相等，均為2d，星座點(diǎn)對(duì)應(yīng)的比特序列表示為b_mb_m-1…b₂ b₁，則該星座圖有如下規(guī)則：

    (1)M-PAM可以與8-PSK一樣劃分出若干不同的二進(jìn)制輸入的AWGN信道，且等效信道有M/2種。將這M/2種等效信道按照對(duì)應(yīng)的M/2種歐氏距離從小到大的順序排列，并將排序后的第k個(gè)等效信道對(duì)應(yīng)的歐氏距離記為D_k，k=1，2，…，M/2，則D_k可以表示為：

    (2)對(duì)應(yīng)任意一個(gè)比特序列中的b_j，j=1,2，…，m，將會(huì)經(jīng)過第1到2^j-1個(gè)等效信道中的一種。

    (3)假設(shè)b_j選擇的是第l個(gè)等效信道，則當(dāng)b_j=0時(shí)，選擇第(2^j-1+l)個(gè)等效信道作為b_j+1的信道，而當(dāng)b_j=1時(shí)，則選擇第(2^j-1-l+1)個(gè)等效信道作為b_j+1的信道。

    依據(jù)上述規(guī)律，可以將M-QAM調(diào)制等效成多個(gè)具有固定信噪比的二進(jìn)制輸入AWGN信道，整個(gè)過程以遞歸的方式進(jìn)行。首先根據(jù)規(guī)則(2)先確定b₁的信道，由于該情況下只有一種信道k=1，相應(yīng)噪聲方差為；接著確定b₂ bit的信道，根據(jù)規(guī)則(3)及b₁的取值不同，b₂有兩條可選的信道：當(dāng)b₁=0時(shí)候，選擇第2個(gè)信道，當(dāng)b₁=1時(shí)，選擇第1信道；以此類推。

    M-PAM方案的發(fā)射端與接收端處理過程基本與8-PSK方案保持一致，但需要注意兩點(diǎn)：(1)與8-PSK情況一樣，低比特除了承載信息之外，還要為高比特提供選擇信道的信息，因此，接收端對(duì)于接收可靠性要求很高，本方案中是采用譯碼糾錯(cuò)后的低比特信息作為高比特選擇信道的信息，這就要求一個(gè)調(diào)制符號(hào)中的每一個(gè)比特都要單獨(dú)編碼，因此，需要的編碼器的總數(shù)為(2)假定調(diào)制符號(hào)個(gè)數(shù)為N，根據(jù)前一點(diǎn)結(jié)論，則一個(gè)符號(hào)內(nèi)第j bit需要編譯碼器個(gè)數(shù)確定為2^j-1個(gè)，但該N bit碼元具體分配到哪個(gè)信道傳輸則由低比特隨機(jī)確定的，這會(huì)造成每個(gè)編碼器的碼長不一致。為了解決這個(gè)問題，提出一種基于比特翻轉(zhuǎn)的方法來克服碼長不一致造成的影響。

    該方法的基本思想是保持每個(gè)比特對(duì)應(yīng)的各個(gè)編碼器的碼長不變，如：對(duì)應(yīng)b_j bit，該bit對(duì)應(yīng)的2^j-1個(gè)編碼器的碼長都為N/(2^j-1)，這樣帶來后果是有可能出現(xiàn)部分編碼器輸出的碼元不能在按照上述規(guī)則計(jì)算出的噪聲方差的信道上傳輸。該情況分為兩種，一種是本來應(yīng)該在高噪聲方差信道上傳輸?shù)拇a元被放在低噪聲方差信道上傳輸，另一種則相反，應(yīng)在低噪聲方差傳輸?shù)拇a元被放在高噪聲方差信道上傳輸?？傮w上，前一種情況會(huì)使該碼性能惡化嚴(yán)重，后一種情況會(huì)使該碼性能略微變好。為此，進(jìn)一步采取方法，通過控制碼元出現(xiàn)概率，讓兩種情況中前一種情況不出現(xiàn)或盡量低概率出現(xiàn)。對(duì)于4-PAM調(diào)制，如果b₁中“0”的個(gè)數(shù)比“1”多，則b₂就會(huì)出現(xiàn)后一種情況，否則，就會(huì)出現(xiàn)前一種情況。另一方面，由于極化編碼時(shí)最后一個(gè)信息比特參與了所有碼元生成的過程，改變?cè)摫忍氐闹?，就相?dāng)于對(duì)整個(gè)碼字實(shí)現(xiàn)了一次比特翻轉(zhuǎn)，因此可以通過控制信息比特最后一個(gè)比特值(該比特將不再用來傳輸信息)來調(diào)節(jié)b₁中“1”和“0”個(gè)數(shù)，使得b₂只出現(xiàn)后一種情況。

2 仿真結(jié)果分析

    首先分析8-PSK調(diào)制時(shí)極化碼的性能。如圖3所示，極化碼的碼長分為N=256和N=512兩種情況，根據(jù)公式(2)計(jì)算出兩種等效噪聲方差，分別為6.828 4 N₀和1.171 6 N₀，其中N₀根據(jù)仿真需要來設(shè)定，并選擇b₁、b₂和b3碼率為0.51、0.51、0.98，平均吞吐量為2 bit/符號(hào)，然后依據(jù)這些參數(shù)利用文獻(xiàn)[5]的方法進(jìn)行極化碼的構(gòu)造。

    由圖3可以看出，與同樣吞吐量為2 bit/符號(hào)的正交相移鍵控(QPSK)比，兩個(gè)碼在誤碼率都保持在10^-4時(shí)，分別有1.9 dB和2.4 dB的性能增益。另外，也給出了兩種碼長下接收端理想已知C₁(傳輸b₁的極化碼記作C₁)和依靠譯碼器接收結(jié)果的C₁兩種情況的性能對(duì)比，從圖3可以看出，非理想情況與理想情況的性能差異都在0.3 dB以內(nèi)，性能惡化不是很嚴(yán)重。

    圖4給出了采用16-QAM調(diào)制時(shí)候(兩路4-PAM)極化碼的誤碼率性能，對(duì)于每個(gè)4-PAM調(diào)制，極化碼的碼長分為N=256和N=512兩種情況，根據(jù)式(3)、式(4)可以算出其兩種等效噪聲方差為N₀和0.111 1 N₀，其中d=1。選擇b₁碼率為0.42，b₂是由兩個(gè)碼長為N/2的極化碼組成，碼率分別為0.38和0.78，此時(shí)一個(gè)4-PAM的平均吞吐量為1 bit/符號(hào)。

    由圖4可以看出，與同樣吞吐量為2 bit/符號(hào)的QPSK相比，在誤碼率為2×10^-5時(shí)，其增益分別有1.3 dB和1.8 dB。同樣，在圖4中，也給出了兩種碼長下接收端理想已知C₁和依靠譯碼器接收結(jié)果的C₁兩種情況的性能對(duì)比，并且，性能惡化也不是很嚴(yán)重。

3 結(jié)論

    本文先是分析了格雷映射下PSK調(diào)制和PAM/QAM調(diào)制星座圖的特點(diǎn)，并根據(jù)各自特點(diǎn)，得出了可以將高階調(diào)制信道分解成多個(gè)平行的并具有固定噪聲功率的二進(jìn)制輸入子信道的結(jié)論，并利用此結(jié)論，將高階調(diào)制極化碼的構(gòu)造問題轉(zhuǎn)化為一般的二進(jìn)制輸入信道的極化碼的構(gòu)造問題，從而避免了傳統(tǒng)方法在高階調(diào)制時(shí)候無法確定信道噪聲功率的問題，實(shí)現(xiàn)了高階調(diào)制時(shí)的極化碼的構(gòu)造。本文最后還針對(duì)PSK調(diào)制和QAM調(diào)制在采用推薦方法后的性能進(jìn)行了仿真，仿真結(jié)果也表明了采用推薦方法可以帶來較為顯著的性能提升。

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