摘  要： 針對(duì)室內(nèi)聲學(xué)非線性系統(tǒng)室內(nèi)沖激響應(yīng)快速檢測(cè)的問(wèn)題，提出了一種基于連續(xù)指數(shù)正弦掃頻信號(hào)綜合檢測(cè)的方法。通過(guò)簡(jiǎn)要介紹非線性系統(tǒng)Volterra模型后，著重闡述了作為激勵(lì)信號(hào)的連續(xù)指數(shù)正弦掃頻信號(hào)和實(shí)現(xiàn)非線性系統(tǒng)沖激響應(yīng)快速檢測(cè)的基本原理和相關(guān)技術(shù)。最后，通過(guò)一個(gè)應(yīng)用實(shí)例驗(yàn)證了該方法的可行性和快速性。

　　關(guān)鍵詞： 非線性系統(tǒng)；沖激響應(yīng)；連續(xù)指數(shù)掃頻信號(hào)；快速檢測(cè)

0 引言

　　在傳統(tǒng)的室內(nèi)聲學(xué)沖激響應(yīng)測(cè)量中，一般采用周期性脈沖[1]和最大長(zhǎng)度序列[1-2]兩種檢測(cè)方法。然而，周期性脈沖測(cè)量不但測(cè)試時(shí)間長(zhǎng)、信噪比差，而且由于激勵(lì)能量低而不能輸出非線性失真；而最大長(zhǎng)度序列測(cè)量雖然改善了其信噪比，然而，其要求系統(tǒng)必須有良好的線性。因此，傳統(tǒng)的方法無(wú)法分離非線性系統(tǒng)的線性與非線性響應(yīng)，基于以上的問(wèn)題，本文提出了一種基于非線性系統(tǒng)的Volterra數(shù)學(xué)模型，采用連續(xù)指數(shù)正弦掃頻信號(hào)作為激勵(lì)信號(hào)，利用Hilbert-Huang變換技術(shù)和相關(guān)的逆濾波器技術(shù)實(shí)現(xiàn)快速簡(jiǎn)捷的解決方法。

1 非線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

　　室內(nèi)聲學(xué)系統(tǒng)一般可認(rèn)為信號(hào)先經(jīng)過(guò)一個(gè)非線性系統(tǒng)，然后再在一個(gè)線性系統(tǒng)中傳輸，其原理框圖如圖1所示。

　　對(duì)于一個(gè)無(wú)記憶的非線性系統(tǒng)的特征可由N階Volterra核函數(shù)[3]KN（t）表示，非線性的系統(tǒng)響應(yīng)如式（1）所示：

　　Farina[4-5]指出該模型下的非線性系統(tǒng)的全局響應(yīng)可以由一個(gè)高斯白噪聲n（t）加上一系列的沖激響應(yīng)hi（t）（hi（t）=ki（t）?茚h（t））和相應(yīng)不同功率的輸入信號(hào)做卷積的結(jié)果組成。該模型下的全局響應(yīng)如式（2）所示：

　　在實(shí)際應(yīng)用中，這樣的系統(tǒng)不失一般性。然而，實(shí)踐中測(cè)量這種系統(tǒng)的各階沖激響應(yīng)函數(shù)hi（t）往往又是非常耗時(shí)、困難和復(fù)雜的。下面將介紹一種通過(guò)采用特定的激勵(lì)信號(hào)測(cè)量和相關(guān)的技術(shù)處理，快速獲取系統(tǒng)各階沖激響應(yīng)分布的方法。

2 系統(tǒng)信號(hào)源的選擇和沖激響應(yīng)實(shí)現(xiàn)的相關(guān)技術(shù)

　　2.1 激勵(lì)信號(hào)的選擇

　　在測(cè)量方法中，既希望測(cè)量較寬的頻帶，又希望測(cè)量時(shí)間盡可能短，并且還希望在測(cè)量的頻率范圍內(nèi)得到更為精確的結(jié)果。在傳統(tǒng)的測(cè)量中，主要選擇線性正弦掃頻信號(hào)和離散指數(shù)掃頻信號(hào)兩種信號(hào)作為激勵(lì)信號(hào)。線性正弦掃頻信號(hào)作為激勵(lì)信號(hào)，其頻率呈線性連續(xù)變化，在22 Hz~22 kHz的頻率范圍下測(cè)試，測(cè)試時(shí)間大概需要15 s；為縮短測(cè)量時(shí)間，S.Temme等[6]提出了離散指數(shù)掃頻信號(hào)，該信號(hào)頻率點(diǎn)以指數(shù)比率增長(zhǎng)，該信號(hào)是以犧牲測(cè)量精度為代價(jià)，換取更短的測(cè)量時(shí)間，但是，在精度為1/24倍頻程下測(cè)試，測(cè)量時(shí)間也需要十多秒。

　　為了解決以上兩種信號(hào)在時(shí)間和精度上的問(wèn)題，本文采用連續(xù)指數(shù)正弦掃頻信號(hào)作為激勵(lì)信號(hào)。該激勵(lì)信號(hào)的形式如式（3）所示：

　　其中，A為信號(hào)的幅度，（t）為信號(hào)的瞬時(shí)相位，T為信號(hào)掃頻的總時(shí)間，w1和w2分別為信號(hào)的起始頻率和終止頻率。

　　該激勵(lì)信號(hào)隨著時(shí)間的變化，其頻率呈指數(shù)連續(xù)增長(zhǎng)，在1 s內(nèi)從起始頻率20 Hz到終止頻率20 kHz的測(cè)量結(jié)果如圖2所示。

　　由圖2（a）可知，該激勵(lì)信號(hào)能在較短時(shí)間內(nèi)連續(xù)測(cè)試頻率點(diǎn)，因此，得到的測(cè)量頻率更精確。結(jié)合圖2（b）和（c）可知，激勵(lì)信號(hào)隨著頻率的增加，能量降低。如圖2（c）所示，激勵(lì)信號(hào)的頻譜是一個(gè)粉紅譜，下文將介紹根據(jù)這樣的一個(gè)頻譜進(jìn)行的幅度調(diào)制。另外，該激勵(lì)信號(hào)還有一個(gè)重要的特點(diǎn)，如下式（4）所示。

　　由上式可知，激勵(lì)信號(hào)某時(shí)刻頻率的N倍，等于該激勵(lì)信號(hào)頻率延時(shí)?駐t對(duì)應(yīng)的頻率，即?駐t表示了N次諧波出現(xiàn)的時(shí)刻與基波之間的時(shí)間間隔。此時(shí)間間隔只與激勵(lì)信號(hào)的起始頻率、終止頻率、掃頻總時(shí)間和N有關(guān)。因此，由式（5）可以確定某時(shí)刻頻率的N次諧波出現(xiàn)的時(shí)刻。

　　2.2 沖激響應(yīng)實(shí)現(xiàn)的基本原理

　　為了能夠?qū)崿F(xiàn)快速檢測(cè)系統(tǒng)各階沖激響應(yīng)，需要構(gòu)造一個(gè)逆濾波器x′（t），它應(yīng)滿(mǎn)足與激勵(lì)信號(hào)相卷積后，其結(jié)果為狄拉克函數(shù)δ（t）。再結(jié)合第1節(jié)非線性系統(tǒng)的描述，在連續(xù)指數(shù)正弦掃頻激勵(lì)下，非線性系統(tǒng)的沖激響應(yīng)函數(shù)形式如式（6）所示：

　　其中，hi（t）表示第i階的沖激響應(yīng)，?駐ti表示第i階的沖激響應(yīng)與第1階沖激響應(yīng)（即線性響應(yīng)）之間的時(shí)間間隔，即上節(jié)介紹中的?駐t。由式（6）可知，由于連續(xù)指數(shù)掃頻信號(hào)和特定的逆濾波器的引入，一個(gè)復(fù)雜的非線性系統(tǒng)的線性沖激響應(yīng)和各階非線性沖激響應(yīng)以?駐ti的時(shí)間間隔被分開(kāi)。另外，從某種意義上來(lái)說(shuō)這一特定的逆濾波器也是后續(xù)系統(tǒng)另一種形式上的激勵(lì)信號(hào)，下一節(jié)將介紹這一特定的逆濾波器。

　　2.3 沖激響應(yīng)實(shí)現(xiàn)的相關(guān)技術(shù)——逆濾波器的實(shí)現(xiàn)

　　由上節(jié)可知，逆濾波器的創(chuàng)建基于非線性失真響應(yīng)和激勵(lì)信號(hào)。另外，考慮實(shí)際測(cè)量中，信號(hào)總是因果的，因此，還要求逆濾波器應(yīng)是一個(gè)因果的、穩(wěn)定的信號(hào)。根據(jù)參考文獻(xiàn)[7]中對(duì)創(chuàng)建逆濾波器的各種技術(shù)的分析，采用最簡(jiǎn)單的最小二乘法技術(shù)求解逆濾波器。建立最小二乘法方程如式（7）所示：

　　[R]·{g}={k}（7）

　　其中，[R]矩陣為托普利茲矩陣，{g}為逆濾波器方程向量，{k}為系統(tǒng)響應(yīng)函數(shù)方程向量。

　　另外，由于測(cè)量系統(tǒng)采用連續(xù)指數(shù)掃頻信號(hào)作為激勵(lì)信號(hào)，根據(jù)上節(jié)介紹的逆濾波器和激勵(lì)信號(hào)的關(guān)系，再結(jié)合上文介紹的連續(xù)指數(shù)掃頻信號(hào)隨著頻率的增加，能量不斷降低的情況，為補(bǔ)償其在低頻和高頻時(shí)能量的不一致，需要對(duì)逆濾波器進(jìn)行幅度調(diào)制。采用Hilbert-Huang變換技術(shù)對(duì)激勵(lì)信號(hào)的頻譜幅值進(jìn)行分析研究，根據(jù)其幅度包絡(luò)的特點(diǎn)在時(shí)域上對(duì)逆濾波器進(jìn)行包絡(luò)調(diào)制。下面對(duì)連續(xù)指數(shù)正弦掃頻信號(hào)的頻譜進(jìn)行分析。

　　對(duì)非線性、非平穩(wěn)的連續(xù)指數(shù)掃頻激勵(lì)信號(hào)進(jìn)行Hilbert-Huang變換，設(shè)激勵(lì)信號(hào)x（t）時(shí)域上的解析信號(hào)Zx（t）和頻譜Zx（f）分別為：

　　其中，H[x（t）]是x（t）的希爾伯特變換，ax（t）和x（t）分別為激勵(lì)信號(hào)的瞬時(shí)幅值和瞬時(shí)相位，Ax（f）為激勵(lì)信號(hào)頻譜的幅值。

　　設(shè)激勵(lì)信號(hào)的時(shí)域幅值ax（t）=1，由2.1節(jié)介紹的激勵(lì)信號(hào)的瞬時(shí)相位，對(duì)其進(jìn)行兩次求導(dǎo)，再結(jié)合參考文獻(xiàn)[8]中公式：

　　可得激勵(lì)信號(hào)的頻譜幅值為：

　　其中，fi為激勵(lì)信號(hào)的瞬時(shí)頻率，，連續(xù)正弦掃頻信號(hào)頻域的幅度沿頻率分布的情況如圖3所示。

　　結(jié)合圖3和式（11）可知，激勵(lì)信號(hào)的頻譜幅值是一個(gè)粉紅譜，Ax（f）正比，頻率越低，激勵(lì)信號(hào)幅值越大。從能量的角度來(lái)看，激勵(lì)信號(hào)的能量從低頻向高頻不斷衰減，與2.1節(jié)中圖2（c）介紹的激勵(lì)信號(hào)的頻譜幅值變化相一致。

　　根據(jù)激勵(lì)信號(hào)頻譜幅值隨頻率變化的特點(diǎn)，在時(shí)域上對(duì)逆濾波器進(jìn)行幅度調(diào)制，求得的逆濾波器時(shí)域波形圖和頻譜如圖4所示。

3 應(yīng)用實(shí)例

　　為了驗(yàn)證上述方法的有效性和快速性，將其用于揚(yáng)聲器系統(tǒng)的沖激響應(yīng)測(cè)量。揚(yáng)聲器系統(tǒng)測(cè)試基本框圖如圖5所示。

　　計(jì)算機(jī)產(chǎn)生激勵(lì)信號(hào)經(jīng)功放后加載到具有非線性特性的揚(yáng)聲器，揚(yáng)聲器產(chǎn)生的聲場(chǎng)隨后經(jīng)過(guò)空間線性傳播由傳送器接收，接收到的信號(hào)經(jīng)陰極輸出器輸入計(jì)算機(jī)，計(jì)算機(jī)讀取其數(shù)據(jù)，然后進(jìn)行分析、處理。

　　采用起始頻率為20 Hz、終止頻率為20 kHz、掃頻時(shí)間為1 s的連續(xù)指數(shù)掃頻信號(hào)作為激勵(lì)信號(hào)對(duì)揚(yáng)聲器系統(tǒng)進(jìn)行測(cè)試，將系統(tǒng)響應(yīng)結(jié)果與上述的逆濾波器進(jìn)行卷積后，經(jīng)數(shù)據(jù)處理，得到的揚(yáng)聲器系統(tǒng)的各階沖激響應(yīng)測(cè)量結(jié)果如圖6所示。

　　圖7（a）是連續(xù)指數(shù)正弦掃頻信號(hào)激勵(lì)法下的沖激響應(yīng)測(cè)量結(jié)果圖，圖7（b）和（c）分別為最大長(zhǎng)度序列法和周期性脈沖法在室內(nèi)揚(yáng)聲器系統(tǒng)下測(cè)量的沖激響應(yīng)結(jié)果圖[9]。結(jié)合圖6、圖7和參考文獻(xiàn)[9]可知，連續(xù)指數(shù)正弦掃頻信號(hào)激勵(lì)法的最大特點(diǎn)是能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)非線性系統(tǒng)各階沖激響應(yīng)的快速檢測(cè)，而最大長(zhǎng)度序列法和周期性脈沖法無(wú)法將非線性系統(tǒng)中的線性與非線性響應(yīng)部分分離開(kāi)來(lái)。

　　由上述可知，圖6中從右邊開(kāi)始最高幅值的是1階沖激響應(yīng)即線性響應(yīng)，依次向左分別為2階、3階、4階等更高階的沖激響應(yīng)。它們以?駐ti的時(shí)間間隔依次被分隔開(kāi)來(lái)，其中?駐ti可由上述推導(dǎo)的式（5）所求得，實(shí)現(xiàn)了對(duì)非線性系統(tǒng)各階沖激響應(yīng)的快速檢測(cè)。

　　此外，從圖6測(cè)量結(jié)果中可看出，系統(tǒng)響應(yīng)的噪聲在首尾處較大，這是由于激勵(lì)信號(hào)在首尾處由于信號(hào)幅度的突變而產(chǎn)生高頻能量造成的，為改善系統(tǒng)在首尾處產(chǎn)生的噪聲，可以對(duì)激勵(lì)信號(hào)進(jìn)行加窗處理。

4 結(jié)論

　　本文從理論上對(duì)室內(nèi)聲學(xué)非線性系統(tǒng)和作為激勵(lì)信號(hào)的連續(xù)指數(shù)正弦掃頻信號(hào)、逆濾波器的特性進(jìn)行了分析研究，通過(guò)運(yùn)用上述方法對(duì)具有非線性特性的揚(yáng)聲器系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)際測(cè)試，揚(yáng)聲器系統(tǒng)的線性沖激響應(yīng)和各階非線性沖激響應(yīng)被快速地測(cè)量出來(lái)，實(shí)現(xiàn)了對(duì)非線性系統(tǒng)各階沖激響應(yīng)的快速檢測(cè)。

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