1 引 言
機械故障診斷中由傳感器檢測到的信號往往十分復(fù)雜，且信號中的奇異部分常載有機械設(shè)備運行狀態(tài)特征的重要信息。因此判斷狀態(tài)信號的奇異點出現(xiàn)時刻，并對信號奇異性實現(xiàn)定量描述，在機械故障診斷信號分析和處理中有著非常重要的意義。
信號的奇異性分析是提取信號特征的重要手段，傅里葉變換一直是研究信號奇異性的經(jīng)典工具，但是由于傅里葉變換只能確定信號的整體信息，難以刻畫信號的局部奇異性，而小波分析理論能實現(xiàn)信號的時-頻局部化描述，為信號奇異性分析提供有了力的工具。利用小波奇異性檢測理論，本文提出了一一種根據(jù)奇異點的局部奇異性信息來診斷機械故障的新方法。
2 信號奇異性
數(shù)學(xué)上稱無限次可導(dǎo)函數(shù)是光滑的或沒有奇異性的，若函數(shù)在某處有間斷或某階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，則稱函數(shù)在此處有奇異性，該點就是奇異點。奇異性反映了信號的不規(guī)則程度，信號的奇異性由Lipschitz指數(shù)來描述和衡量。
設(shè)n為非負(fù)整數(shù)，n≤α≤n+1，如果存在兩個常數(shù)A和h0(>0)，及n次多項式Pn(t)，使得對任意的t0，均有：
則稱f(t)在點t0處具有Lipschitz指數(shù)α。
由此可以看出，Lipschitz指數(shù)刻畫了函數(shù)f(t)在點t0的奇異性。Lipschitz指數(shù)α越大，則函數(shù)f(t)越光滑。如果函數(shù)f(t)在點t0連續(xù)、可微，那么Lipschitz指數(shù)α=1；如果在點t0不連續(xù)，但有界，則Lipschitz指數(shù)α=0，當(dāng)Lipschitz指數(shù)α<1時，函數(shù)f(t)在點t0是奇異的。
3 小波變換與信號奇異性
小波變換是將信號與一個時域和頻域均具有局部化性質(zhì)的平移伸縮小波基函數(shù)進(jìn)行卷積，將信號分解成位于不同頻帶時段上的各個成分。
若基本小波函數(shù)Ψ(τ)∈L2(R)，且滿足容許性條件：
則函數(shù)(信號)f(t)∈L2(R)在尺度s和位置t的小波變換定義為：
由小波變換的特征可知，小波變換Wf(s，t0)的值強烈依賴于信號f(t)在點t0處領(lǐng)域附近的值，并且尺度s越小，領(lǐng)域問也越小，因此在合適的尺度上，Wf(s，t0)將提供所需要的信號在點t0附近的局部信息。下面的定理給出了信號小波變換沿尺度的衰減與信號局部Lipschitz指數(shù)的關(guān)系，并由此得到信號奇異性的特征。
定理1 設(shè)f(t)∈L2(R)，Ψ(t)為基本小波。則f(t)在某開區(qū)間上為Lipschitz指數(shù)α的充要條件是：
由定理1可以看出當(dāng)s→0時，∣f(s，t)∣衰減的快慢。如果將尺度理解為頻率的倒數(shù)，則式(3)給出的Lipschitz α是對信號在區(qū)間內(nèi)奇異性的局部刻畫，而不僅僅是全部實數(shù)域上的整體刻畫。
信號的奇異性在小波變換下的特征由定理2描述，但是如何從信號小波變換來確定信號的奇異性?研究發(fā)現(xiàn)，信號的奇異點與小波變換模極大值與該點Lipschitz指數(shù)有密切的關(guān)系。在尺度s下，若d/dtWf(s，t)在t0處有一過零點，則t0是小波變換的局部極值點，若在某一領(lǐng)域δt0，∨t∈δt0，∣Wf(s，t)∣≤∣Wf(s，t0)∣，則t0掬小渡變換的模極值。若∨(s,tΓ)∈Γ，tΓ是在尺度s下的小渡變換的模極大值點，則稱{(s，tΓ∣s>0)}中的某一條曲線Γ為小波變換極值鏈。
定理2 設(shè)n為正數(shù)，Ψ(t)是具有緊支集的小波函數(shù)，有n階消失矩而且n階連續(xù)可微。那么，如果有尺度s
定理2 說明如果小波變換無局部最大值，在該區(qū)間信號非奇異。由此進(jìn)一步可以推論，f(t)非Lipschitzn的點t的閉包，包含在f(t)的小波變換模極值點的閉包之內(nèi)，說明f(t)的所有奇異點均可沿小波變換極值鏈定位，實際應(yīng)用中便是用考查小波變換的模極值點得到信號奇異點。從奇異信號在小波變換下的特征分析，可以有這樣的結(jié)論：信號小渡變換模極值點即是信號的奇異點，而描述信號奇異性Lipschitz指數(shù)是由沿小波變換尺度的衰減計算。這對信號分析、特征提取等均有重要的應(yīng)用價值。
4 信號奇異性檢測
當(dāng)小波函數(shù)可看作某一平滑函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)時，信號小波變換模的局部極值點對應(yīng)予信號的突變點；當(dāng)小波函數(shù)可看作巢一平滑蕊數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)時，信號小波變換的過零點對應(yīng)于信號的突變點。因此，采用小波變換模的過零點和局部極值點的方法可以檢測信號的突變點。比較來說，用局部極值點的方法進(jìn)行檢測更具優(yōu)越性。
一般信號奇異性分為兩種情況：
(1)信號在某一時刻其幅值發(fā)生突變，引起信號的不連續(xù)，這種類型的突變稱為第一種類型的間斷點(見圖1)；
(2)信號外觀上很光滑，幅值沒有發(fā)生突變，但是信號的一階微分有突變發(fā)生且一階不連續(xù)，這種類型的突變稱為第二種類型的間斷點(見圖2)。
應(yīng)用小波分析可以檢測出信號中突變點的位置、類型以及變化的幅度，下面分別對這兩類間斷點進(jìn)行檢測。
圖1中信號的不連續(xù)是由予低頻特征的正弦信號在后半部分突然有高頻特征的正弦信號加入，首先利用傅里葉變換對信號在頻城進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)無法檢測信號的間斷點，這是由于傅里葉變換不具有時間分辨力。接著利用小波分析進(jìn)行分析，如圖3所示，使用db6小渡將信號進(jìn)行6層分解，以檢測第一種類型的間斷點，可以非常清楚地觀察到信號的不連續(xù)點，即高頻特征的正弦信號的加入點，這是因為間斷點包含了高頻信息。如果只需要識別檢測第一種類型的間斷點，可以非常清楚地觀察到信號的不連續(xù)點，即高頻特征的正弦信號的加入點，這是因為間斷點包含了商頻信息。如果只需要識別信號的不連續(xù)點，用dbl小波比db6小波效果要好。
以上檢測實例表明小波分析在檢測信號的奇異點時具有傅里葉變換無法比擬的優(yōu)越性，利用小波分析可以精確地檢測出信號的突變點。即高頻特征的正弦信號的加入點，這是因為間斷點包含了高頻信息。而如果只需要識別信號的不連續(xù)點，用dbl小波比db6小波效果要好。
圖2中，原始信號是由兩個獨立的滿足指數(shù)方程的信號在t=400處連接起來的。因此它看上去是光滑的，但它的一階微分有突變。采用db6小波對信號分解后，在信號的第一層高頻系數(shù)d1中可以明顯地看到t=100的間斷點。要注意的是，在信號奇異點的檢測中，選擇小波的正則性(正則性一般甩來刻畫函數(shù)的光滑程度，正則性越高，函數(shù)的光滑性越好)非常重要，因為這時小波可實現(xiàn)一個長的沖激響應(yīng)濾波器。
5 故障診斷實例分析
小波變換在故障診斷中的應(yīng)用十分廣泛，如奇異信號檢測、信噪分離和頻帶分析等。本文采用奇異指數(shù)德量來實現(xiàn)信號的奇異性檢測，從而實現(xiàn)故障診斷。信號奇異性指數(shù)的大小直接反映了故障的程度。故障的發(fā)生往往引起時域波形的波峰突變，因此，通過奇異性指數(shù)提取和統(tǒng)計，可作為信號時域的特征因子，以實現(xiàn)故障的自動診斷。
5.1 試驗方案
試驗對象是某齒輪減速箱的406滾動軸承，試驗通過研磨滾動軸承內(nèi)圈來模擬軸承內(nèi)圈的磨損故障，以不同的配合間隙模擬故障的嚴(yán)重程度。測試轉(zhuǎn)速1 480 r／min，采樣頻率確定10 kHz是完全能夠滿足測試要求的，整個試驗在減速箱試驗臺架上進(jìn)行，信號采集系統(tǒng)框圖如圖4所示。
5.2 試驗信號的處理與分析
模擬故障間隙0.2～0.3 mm，提取一個周期內(nèi)的時域振動信號如圖5所示。
由試驗可得出以下結(jié)論：
(1)由滾動軸承內(nèi)圈磨損引起的故障在振動信號中體現(xiàn)為奇異的沖擊波形，通過基于小波變換的信號奇異性檢測可以有效定位該故障波形，從而檢測出故障。
(2)根據(jù)理論分析，若磨損越嚴(yán)重，則沖擊越大，波形越陡，表征信號波形奇異性Lipschitz指數(shù)越?。煌ㄟ^試驗，驗證了Lipschitz指數(shù)可以表征故障嚴(yán)重程度，為故障嚴(yán)重的判別提供了依據(jù)。
6 結(jié)語
信號奇異點可通過信號的小波變換局部極大值來定位，而奇異性運用該點的Lipschitz指數(shù)a來定量描述，運用該理論來實現(xiàn)機械故障信號的奇異性檢測，比常規(guī)手段更優(yōu)越。本文通過實例說明，若將該方法應(yīng)用到機械設(shè)備故障的診斷中，快速實現(xiàn)故障的正確診斷，對于提高機械設(shè)備工作的穩(wěn)定性具有十分重要的意義。
在試驗中故障信號是奇異的，其Lipschitz指數(shù)小于1，因此Haar小波可滿足檢測的要求，并且使小波變換的模極大值最小。試驗分別模擬了3種故障間隙，測得Lipschitz指數(shù)如表1所示。
